Le barycentre - Centre des masses. Imprimer
Écrit par عمر الحاج   
Samedi, 04 Décembre 2010 09:08

Le barycentre

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1. Coordonnées du barycentre

Alors,

Et comme, , alors,

En utilisant l’écriture indicielle :

Dans le cas de masses de coordonnées, le centre de masses est déterminé par :

Soit :

Dans le cas d’un corps solide, les points sont continus et peuvent être représentés par . Chaque point matériel est pondéré par sa masse infinitésimale. Alors, la somme devient une intégrale et puisque peut-être représentée par sa densité et son volume, soit .

Ainsi, les coordonnées du centre de masses peuvent-être déterminées par :



2. Applications

Le centre de masse d’un cône plein :

Un cône peut être généré par Une masse infinitésimale :

L’angle du cône est :

; ;

Alors,

En faisant un changement de coordonnées :

; ;

D’où :

Soit de de sa base.

3. Remarque importante

Pour les corps solides de révolution symétriques, Il est piégeant et même faux de déterminer le barycentre à partir de ses projections sur les plans.

Par exemple pour le cône, c’est une erreur de dire que les coordonnées de son barycentre sont les mêmes que celles du triangle et du cercle, les formes de ses projections sur les plans de projection usuels.


 


 

3.1. Cas du triangle


3.2. Méthode graphique

Si on considère une surface rectangle infinitésimale , le centre de gravité se trouve à sa moitie . Ainsi, le barycentre se trouve sur la droite que trace chaque centre de ces petites surfaces rectangulaires, de la base au sommet du triangle. Alors, et puisque ce raisonnement est valable pour n’importe quelle base et sommet d’un triangle quelconque, le barycentre se trouve dans l’intersection des droites tracées des centres des trois bases aux trois sommets du triangle.

 

4. Une règle

Pour déterminer le barycentre d’un milieu continu, en utilisant l’intégrale, il suffit de choisir une petite parcelle infinitésimale d’une forme usuelle (disque, rectangle, cercle, etc…) , qui peut générer par superposition et avec une fonction d’échelle, le  corps tout entier, en changeant ses dimensions sans changer sa forme. Avec ce raisonnement, on peut souvent réduire la dimension de l’intégrale (par exemple d’une intégrale triple à une intégrale double ou simple).

Revenons au cas du cône. Le volume de chaque parcelle (disque) pouvant former un cône est :

D’où, on peut réduire l’intégrale :

En simplement :

OMAR El-Hadj (Dernière mise à jour : 04/12/2010)



Mise à jour le Samedi, 04 Décembre 2010 14:16