Les forces - Rappel sur le calcul vectoriel Imprimer
Écrit par عمر الحاج   
Vendredi, 04 Novembre 2011 11:00

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II.1. Les forces :

Physiquement, une force est une action qui modifie l’état d’équilibre du d’un corps ou sa forme. Elle permet ainsi d’imposer ou de générer une accélération ou décélération de son mouvement.

Mathématiquement, la force est un vecteur défini par :

- Son origine : le point d’application de la force.

- Sa direction : L’orientation du support de la force.

- Son sens : Considéré par rapport aux axes de coordonnées : positif ou négatif.

- Son module : Sa valeur en unités de mesure utilisé

Graphiquement : voir fig. (I.1).:


 

II.2. Rappel sur le calcul vectoriel :

II.2.1. Composantes d’un vecteur :

Considérons une base orthonormée dans l’espace R3 notée : R0(0, ,,). Elle vérifie :

Dans cette base, on peut représenter le vecteur par ses composantes (x, y, z) :

La notation adoptée est la suivante :

II.2.2. Loi de composition interne et propriétés :

Somme vectorielle : On définie trois vecteurs :

,

a. (permittivité).

= +

==

b. (associativité).

c. (élément neutre).

d. (élément opposé).

 


 

Multiplication des vecteurs :

et et sont des nombres réels.

=

a. = (Distribution par rapport à l’addition des scalaires).

b. = (Distribution par rapport à la somme vectorielle.)

c. = (Associativité pour la multiplication par un scalaire).

Combinaison linéaire des vecteurs :

Les n vecteurs dans R3 sont linéairement indépendant si et seulement si :

,

S’il existe au moins, , on dit que les vecteurs sont linéairement dépendants.

Dans ce cas, on peut écrire :

.

On dit que est une combinaison linéaire des vecteurs .

La dépendance linéaire dans un ensemble de vecteurs signifie que la dimension est réduite au nombre de vecteurs linéairement indépendants.

Exemple :

Si , et que et sont linéairement indépendants (forment un plan), le vecteur appartient à ce plan.

 


 

Produit scalaire :

Une loi de combinaison interne qui associe au produit un scalaire :

, R3 R

=

Si :

et : = 0

Pour :

,

Le produit scalaire est exprimé par :

= =

Norme (module) d’un vecteur :

On définit la norme ou module d’un vecteur , la quantité :

Si :

,

Alors :

Produit vectoriel :

Le produit vectoriel de deux vecteurs et est défini par :

= ,

Tel que , le vecteur unitaire portant par un axe perpendiculaire au plan formé par et .

Si et :

= 0 ,

On dit que et sont colinéaires ().

Et pour :

,

Le produit vectoriel est exprimé par :

 

= =

 

Le produit vectoriel est antisymétrique :

=

Produit mixte :

Si :

,

 

On définit le produit mixte par l’expression :

=

Le produit mixte est un scalaire qui est le volume du parallélépipède dont les cotés sont les trois vecteurs , et .

Double produit vectoriel :

Défini par la l’expression :

Le double produit vectoriel peut s’exprimer en fonction de et (combinaison linéaire de et ), car le vecteur et et aussi. Donc, plan défini par et :

, et R

Projection orthogonale d’un vecteur :

Soit un vecteur défini par son vecteur unitaire et un vecteur quelconque dans l’espace R3.

Alors, on peut écrire :

= .

La projection orthogonale de sur est exprimée par :

Autrement, on peut écrire :

.

est appelé cosinus directeur de par rapport à . Il définit la direction de par rapport à .

 


 

II.2.3. Résultante des forces :

Soient le système de forces dans l’espace R3. La somme vectorielle de ces forces est appelée résultante :

 

Analytiquement, on peut étudier le système dans un repère de projection orthonormé pour déterminer les composantes de la résultante.

Si :

,

Alors :

Soit :

Graphiquement :

La résultante est obtenue en faisant des translations dans l’espace des vecteurs, en série, de telle sorte à appliquer le point d’origine du vecteur à l’extrémité du précédent. Le vecteur reliant l’origine du premier vecteur avec la fin du dernier dans la série, détermine la résultante de la série de ces vecteurs. ٍVoir la présentation (PPT)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.2.4. Moment d’une force par rapport à un point :

Le moment d’un vecteur force d’origine A, par rapport à un point M, désigné par est déterminé par la produit vectoriel :

Graphiquement le module du moment est égal au module de la force par la plus petite distance entre le vecteur et le point M, soit la distance perpendiculaire du point M au vecteur :

 

Moment d’un vecteur par rapport à un axe :

La projection d’un vecteur moment par rapport à un point M () sur un axe qui porte le vecteur unitaire est appelé moment du vecteur force par rapport à l’axe et est désigné par :

 

Mise à jour le Samedi, 05 Novembre 2011 05:21