Analyse numérique - Chapitre II - Systèmes d'équation linéaires

Série d'exercices

 

II. Résolution d'un système d'équations linaires par les méthodes d'élimination de Gauss et de Gauss-Jordan

 

1. Utiliser la méthode d'élimination de Gauss et de Gauss-Jordan pour résoudre les systèmes linéaires suivants :

      

 2. Pour quelle condition le système suivant admettra une solution réelle :

3. Écrire l'algorithme de Gauss pour résoudre un système d'équations linéaires.

4. Écrire l'algorithme de Gauss-Jordan pour résoudre un système d'équations linéaires.

III. Méthode de Doolittle (LU décomposition)

 

Rappel de cours

II. a. Rappel sur la méthode d’élimination de Gauss 

La méthode d’élimination de Gauss sert à transformer A du système en une matrice triangulaire supérieure.

Pour chaque colonne k de la matrice A du système d’équation linéaire,

          

           

La substitution rétrograde se fait selon la procédure :

           

Dans le cas d'un système tridiagonal :

 

 

III. Rappel sur la méthode de Doolittle (LU décomposition)
C'est la décomposition implicite de la matrice dans la procédure d'élimination de Gauss. On décompose la matrice en L (matrice triangulaire inférieur) et U (matrice triangulaire supérieur) :

A = L.U

L - Matrice triangulaire inférieur, composé des quotients a(i,k)/a(k,k);

U- Matrice triangulaire supérieur composée de la matrice transformée de A par la méthode d'élimination de Gauss.

 Dans la procédure de calcul qui se fait en deux étape, on remplace le vecteur b' par b dans la relation et le vecteur x par b' comme suit :

L.b'=b

Résolvons le système par la substitution rétrograde pour ensuite résoudre le système :

U.x=b'.